北京航空航天大学 线性代数由付丽华主讲

傅丽华

1985年　　西交大研究生毕业，
1986年　　北航管理学院工作至今
北京航空航天大学理学院教学系教师（副教授）

　    从事教育工作近30年，而且一直在教学第一线上，曾主讲过高等数学、工程数学，近几年来一直主讲“线性代数”与“概率统计及随机过程”，教学效果良好，深受学生的爱戴和欢迎。为配合学生学习，编写了“线性代数”“概率统计”教材及学习指导书两套（5本），分别由北航出版社、高教出版社出版。

教学大纲
1．课程的性质、地位与任务
　 线性代数课程是高等教育工科类专业独立本科段考试计划中一门重要的基础理论课，它是为培养满足工科类专业高等本科人才的需要而设置的。线性代数是讨论有限维空间线性理论的一门学科，由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而且线性问题的处理方法是许多非线性问题处理方法的基础，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，尤其是在计算机的应用日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。通过学习本门课程，使学生掌握本门课程的基本理论与方法，培养分析和解决实际问题的能力，并为以后学习后继课程提供必要的数学基础。

2．本课程的基本要求
　 通过本课程的学习，要求学生系统地获得矩阵、行列式、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、实二次型的基本知识、必要的基本理论及常用的数学方法。在学习过程中，要求学生切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，通过学习，应该具有比较熟练的运算能力，能够运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力。

3．课程内容与考核目标
第一章 矩阵和行列式
（一）考核知识点
1．矩阵的概念。
2．矩阵的运算及其运算规律。
3．分块矩阵及其运算。
4．行列式的定义、性质与计算。
5．逆矩阵的定义、性质与计算。
6．Cramer法则
（二）要求
　本章总的要求是：理解矩阵的概念；熟练掌握矩阵的运算（包括线性运算、乘法、方阵的幂、转置矩阵和求逆矩阵）；了解分块矩阵及其运算；知道行列式的定义；行列式的性质及按一行（列）展开法则；熟练掌握2、3阶行列式的计算；会计算简单的n阶行列式；掌握Gramer法则。
本章的知识点中，重点是：矩阵的概念与运算；矩阵的初等变换。难点是：n阶行列式的计算。
（三）考核要求
1．矩阵的概念，要求达到“领会”层次
1.1 理解矩阵的概念
1.2 熟知单位矩阵、零矩阵的定义
2．矩阵的初等变换，要求达到“综合应用”层次
2.1 理解矩阵初等变换及矩阵等价的概念
2.2 会用初等行变换化矩阵为阶梯形
3．矩阵的运算及其运算规律，要求达到“综合应用”层次
3.1 熟练掌握矩阵的线性运算（加法及数乘），乘法、方阵的幂、转置矩阵运算及其运算规律
特别应注意，矩阵乘法不满足交换律，以及 = 0时，不一定有 =0或 =0。
3.2 知道上（下）三角形矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其简单运算性质
4．分块矩阵及其运算，要求达到“识记”层次
4.1 知道分块矩阵的定义
4.2 了解一般分块矩阵的运算
4.3 掌握分块对角矩阵的运算
5．行列式的定义与性质，要求达到“识记”层次
5.1 知道行列式的定义
5.2 牢记行列式性质（证明不作要求）
5.3 能区分数乘矩阵与数乘行列式、矩阵相加与行列式相加、方阵相乘与行列式相乘的不同之处
6．行列式的展开法则，要求达到“领会”层次
6.1 正确理解余子式与代数余子式的定义
6.2 牢记下列公式：设方阵 ，则成立
7．行列式的计算，要求达到“简单应用”层次
7.1 熟练掌握2、3阶行列式的计算方法
7.2 会计算简单的n阶行列式
7.3 知道范德蒙行列式的计算结果
8．逆矩阵的定义与性质，要求达到“领会”层次
8.1 理解逆矩阵的定义与性质
8.2 理解n阶方阵 的伴随矩阵 的定义
8.3 牢记公式：
8.4 知道 是方阵 可逆的充要条件
9．逆矩阵的计算，要求达到“简单应用”层次
9.1 会利用公式 求逆矩阵
9.2 会求可逆的分块对角矩阵的逆矩阵
10．Cramer法则，要求达到“简单应用”层次
10.1 掌握Cramer法则
10.2 会用Cramer法则求解简单的线性方程组

第二章 向量空间
（一）考核知识点
1．n维向量及其线性运算
2．向量组线性相关与线性无关的定义
3．有关线性相关与线性无关的重要结论
4．向量组的最大无关组与向量组的秩的定义及其基本性质
5．向量组的最大无关组及向量的秩的求法
（二）要求
本章总的要求是：理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算；了解向量空间及其子空间的概念；理解向量组线性相关与线性无关的概念；了解向量组线性相关与线性无关的重要结论；会判定向量组的线性相关与线性无关；了解向量组的最大无关组与秩的概念；会求向量组的秩；知道向量空间的基、维数和向量的坐标等定义。
本章知识点中，重点是：n维向量及其线性运算；向量组线性相关与线性无关的定义及其判定，难点是：向量组线性相关与线性无关的判定。
（三）考核要求
1．n维向量及其线性运算，要求达到“简单应用”层次
1.1 理解n维向量的定义
1.2 掌握n维向量的线性运算
2向量组线性相关与线性无关的定义，要求达到“领会”层次
2.1 知道向量 由向量组 线性表出的含义
2.2 理解向量组线性相关与线性无关的定义
2.3 知道向量组 线性相关的充要条件是：这m个向量中至少存在一个（但未必每一个）向量可由该组中其余的m-1个向量线性表出。
2.4 会利用定义讨论向量组的线性相关与线性无关
3．有关线性相关与线性无关的重要结论，要求达到“领会”层次
3.1 知道下列重要结论（证明不作要求）
（1）若一个向量组的某个部分组线性相关，则该向量组线性相关（等价地，线性无关向量组的任何非空部分组必线性无关）。
（2）给线性无关向量组中每个向量在相同位置上添加分量，所得向量组仍线性无关。
（3）若 线性无关，而 线性相关，则 可由 惟一地线性表出。
（4）设向量组（I）= 可由向量组（II）= 线性表出，若r>s，则（I）线性相关；若（I）线性无关，则 。
（5）n+1个n维向量必线性相关。
3.2 会用3.1中的结论讨论有关向量组线性相关性的比较简单的问题。
4．向量组的等价关系及其简单性质，要求达到“识记”层次
4.1 知道向量组等价的定义及其简单性质。
4.2 知道等价的线性无关向量组所含向量个数相等。
5．向量组的最大无关组与向量组的秩的定义及其基本性质，要求达到“领会”层次。
5.1 了解向量组的最大无关组与向量组的秩的定义。
5.2 知道最大无关组与向量组本身等价。
5.3 知道向量组的秩与向量组线性相关性的关系。
6．向量组的最大无关组及向量组的秩的求法，要求达到“简单应用”层次。
6.1 能根据定义，确定比较简单的向量组的最大无关组及向量组的秩。
6.2 掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩的方法。

第三章 矩阵的秩与线性方程组
（一）考核知识点
1．矩阵的秩的定义。
2．矩阵的行秩、列秩及矩阵的秩三者的关系。
3．矩阵的秩的求法。
4．满秩方阵及其性质。
5．齐次线性方程组有非零解的充要条件。
6．齐次线性方程组解的性质、基础解系与通解。
7．非齐次线性方程组有解的充要条件。
8．非齐次线性方程组解的性质与解的结构。
9．非齐次线性方程组有惟一解的充要条件。
10．非齐次线性方程组的通解的求法。
（二）要求
本章总的要求是：理解矩阵的秩的概念并掌握其求法，了解满秩方阵的定义及其性质；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解其解的性质及基础解系的定义；熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系及其通解的方法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件及解的性质、解的结构、有惟一解的充要条件；熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。
本章知识点中，重点是：齐次线性方程组有非零解的充要条件，齐次线性方程组的基础解系；非齐次线性方程组有解的充要条件；线性方程组通解的求法。难点是：矩阵的行秩、列秩及矩阵的秩三者的关系。
（三）考核要求
1．矩阵的秩的定义，要求达到“领会”层次。
1.1 理解矩阵的秩的定义。
1.2 知道阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
1.3 知道秩( ) = r 的充要条件是： 中存在一个r阶子式非零，并且 中所有r + 1阶子式（如果存在的话）全都为零。
2．矩阵的行秩、列秩及矩阵的秩三者的关系，要求达到“识记”层次。
3．矩阵的秩的求法，要求达到“简单应用”层次。
3.1 知道矩阵的秩与向量组的秩的关系。
3.2 会根据定义求比较简单的矩阵的秩。
3.3 掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法。
4．满秩方阵及其性质，要求达到“识记”层次
4.1 了解满秩方阵的定义。
4.2 知道满秩方阵的下述性质：若 为满秩方阵，则秩( )=秩( )， 秩( )=秩( )。
4.3 知道满秩方阵的下述充要条件：n阶方阵 的秩为 的行（列）向量组线性无关。并会用此结论判定n个n维向量的线性相关性。
5．齐次线性方程组有非零解的充要条件，要求达到“领会”层次。
5.1 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。
6．齐次线性方程组解的性质，要求达到“领会”层次。
6.1 理解齐次线性方程组解的性
7．齐次线性方程组的基础解系与通解，要求达到“综合应用”层次。
7.1 熟知何时存在基础解系及基础解系所含向量的个数。
7.2 熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系及其通解的方法。
8．非齐次线性方程组有解的充要条件、解的性质与解的结构，要求达到“领会”层次。
8.1 理解非齐次线性方程组有解的充要条件。
8.2 理解非齐次线性方程组的解的性质与解的结构。
8.3 熟知当非齐次线性方程组 有无穷多解时，其通解为
(ki为任意常数，i = 1, …, n-r)
其中 为 的任一特解， 为方程组 0的基础解系。
9．非齐次线性方程组有惟一解的充要条件要求达到“领会”层次。
9.1 熟知非齐次线性方程组解的情况只有以下三种：有惟一解；有无穷多解；无解。
9.2 熟知n元非齐次线性方程组 有惟一解的充要条件是：
秩 。
9.3 熟知n元非齐次线性方程组 有无空多解的充要条件是：
秩 。
10．非齐次线性方程组的通解的求法，要求达到“综合应用”层次。
10.1 熟练掌握求非齐次线性方程组的通解的方法。

第四章 特征值与特征向量
（一）考核知识点
1．特征值与特征向量的定义、性质及计算
2．相似矩阵的定义与性质
3．方阵的相似对角化
4．实向量的内积、长度及正交
5．正交向量组与正交矩阵
6．施密特正交化方法
7．实对称矩阵的性质及其对角化
（二）要求
本章总的要求是：理解矩阵特征值与特征向量的定义，掌握其计算方法，了解特征值与特征向量的性质；了解相似矩阵的定义与性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并且会用相似变换化方阵为对角矩阵；了解实向量的内积、长度与正交等概念；了解正交向量组与正交矩阵的概念；会把线性无关向量组用施密特正交化方法化为正交单位向量组；了解实对称矩阵的性质；掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
本章知识点中，重点是：特征值与特征向量的定义及计算；方阵的相似对角化；实对称矩阵的对角化。难点是：施密特正交化方法。
（三）考核要求
1．特征值与特征向量的定义及计算，要求达到“简单应用”层次。
1.1 理解特征值与特征向量的定义
1.2 掌握求特征值与特征向量的方法
2．特征值与特征向量的性质，要求达到“识记”层次。
2.1 知道特征值与特征向量的下列性质（证明不作要求）
（1）如果 都是对应于特征值 的特征向量，k1, …, km为常数，则当 时， 亦是对应于 的特征向量。
（2）如果方阵 的全部特征值为 ，则 。
（3）如果 为可逆方阵 的特征值， 为对应的特征向量，则 的一个特征值且 为对应的特征向量。
（4）如果 为方阵 的特征值， 为对应的特征向量，则 的一个特征值， 为对应的特征向量（m为正整数）。
（5）对应于相异特征值的特征向量是线性无关的。
3．相似矩阵的定义与性质，要求达到“领会”层次。
3.1 了解相似矩阵的定义及其简单性质。
3.2 理解方阵相似的必要条件：若方阵 相似，则det( ) = det( )；秩( ) = 秩( )； 。
4．方阵的相似对角化，要求达到“简单应用”层次
4.1 知道 与对角矩阵相似的充要条件是： 有n个线性无关的特征向量。
4.2 知道 与对角矩阵相似的一个充分条件是： 的n个特征值互不相同。
4.3 掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。
5．实向量的内积、长度及向量正交等概念，要求达到“识记”层次。
5.1 了解实向量的内积、长度及向量正交等概念。
5.2 会将非零向量单位化。
5.3 知道向量的单位化不影响向量的正交性。
6．正交向量组与正交矩阵，要求达到“识记”层次。
6.1 知道正交向量组与正交单位向量组的定义。
6.2 知道正交向量组必是线性无关向量组。
6.3 知道正交矩阵的定义。
6.4 知道方阵 为正交矩阵的充要条件是： 的列（行）向量组是正交单位向量组。
7．施密特正交化方法要求达到“识记”层次。
7.1 了解施密特正交化方法，记住用这个方法将线性无关向量组 化成正交向量组 的下列公式：
，

8．实对称矩阵的性质，要求达到“识记”层次。
8.1 知道实对称矩阵的下列性质：
（1）实对称矩阵的特征值都是实数。
（2）实对称矩阵的对应于相异特征值的特征向量是正交的。
（3）n阶实对称矩阵正好有n个线性无关的特征向量。
9．实对称矩阵的对角化，要求达到“简单应用”层次。
9.1 掌握用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。

第五章 实二次型
（一）考核知识点
1．二次型的定义及其矩阵表示。
2．满秩线性变换与正交变换。
3．二次型的标准形与合同矩阵。
4．用正交变换化二次型为标准形。
5．用配方法化二次型为标准形。
6．惯性定理与规范形。
7．正定二次型与正定矩阵。
（二）要求
本章总的要求是：理解二次型的定义及其矩阵表示：了解满秩线性变换与正交变换；理解二次型的标准形；了解合同矩阵的概念；掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形；知道惯性定理与二次型的规范形；理解正定二次型与正定矩阵的概念并掌握其判定方法。
本章知识点中，重点是：二次型的定义及其矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；正定二次型与正定矩阵。难点是：用正交变换化二次型为标准形。
（三）考核要求
1．二次型的定义及其矩阵表示，要求达到“领会”层次。
1.1 理解二次型的定义。
1.2 会将二次型写成矩阵形式 （ 为实对称矩阵）。
1.3 知道二次型的秩。
2．满秩线性变换与正交变换，要求达到“识记”层次。
2.1 知道满秩线性变换与正交变换的定义。
2.2 知道正交变换 （ 为正交矩阵）的下列性质：
（1）保内积性，即（ ；
（2）保长度性，即 。
3．二次型的标准形与合同矩阵，要求达到“领会”层次。
3.1 理解二次型的标准形，了解合同矩阵的概念。
3.2 理解“用满秩线性变换化二次型为标准形”从矩阵角度讲也就是“用合同变换化实对称矩阵为对角矩阵”。
4．用正交变换化二次型为标准形，要求达到“简单应用”层次。
4.1 熟知用正交变换化二次型f为标准形，从矩阵角度讲，就是用正交变换化f的矩阵（实对称矩阵）为对角矩阵。
4.2 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。
5．用配方法化二次型为标准形，要求达到“简单应用”层次。
5.1 会用配方法化二次型为标准形。
6．惯性定理与二次型的规范形，要求达到“识记”层次。
6.1 知道惯性定理与二次型的规范形。
7．正定二次型与正定矩阵，要求达到“领会”层次。
7.1 理解正定二次型与正定矩阵的定义。
7.2 会用定义判定二次型及其矩阵的正定性。
7.3 知道以下条件都是n元二次型 正定（实对称矩阵 正定）的充要条件（证明不作要求）：
（1）f的正惯性指数等于n；
（2） 的所有特征值都大于零；
（3） 的各阶顺序主子式都大于零；
（4） 合同于单位矩阵。
7.4 会用7.3中的充要条件判定二次型及实对称矩阵的正定性。

4．考核方式：一课程考核采用期终闭卷考试方式。

5．参考书：
（1）线性代数自学辅导，辽宁出版社，魏战线 编。
（2）线性代数，北航出版社，周德润 编。